在2020年北京中考最后一题中，我们已经经历了翻译距离的探索。今年秋季学期期末考试，东城区期末考再次带来翻译距离，但这个距离不是那个距离。基本上可以看作是中考最后一道题的简化版。但无论作业如何减少，基本的解题思路仍然是一样的，对学生的要求也是一样的，那就是必须深刻理解数学概念，掌握学习数学的方法。概念。

话题

在平面直角坐标系xOy中，圆O的半径为1。

给出如下定义：将线段AB的中点记为M。当M点不在圆O上时，平移线段AB，使M点落在圆O上，得到线段A'B'(A', B'分别是A、B)点的对应点。线段AA'长度的最小值称为线段AB到圆O的“平移距离”。

(1)已知A点坐标为(-1,0)，B点在x轴上。

若B点与原点O重合，则线段AB到圆O的“平移距离”为__________；

若线段AB到圆O的“平移距离”为2，则B点坐标为___________；

(2) 若A、B点均在直线y=4/3x+4上，且AB=2，则记线段AB到圆O的“平移距离”为d1，并求d1的最小值；

(3) 若A点坐标为(3,4)，AB=2，则记线段AB到圆O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围。

分析：

(1)从新的定义描述来看，关键词是翻译。对于线段的平移以及平移前后的对应点，我们重点关注三个，A和A'、B和B'，同时还要注意中点M和M'；

虽然线段AA'的最小长度被称为从线段AB到圆O的“平移距离”，但我们可以用线段MM'来代替。

B点与原点重合，绘图如下：

线段AB的中点M在圆O内，如果我们想让点M平移后落在圆周上，即圆内一点到圆周的最短路径，我们需要通过点M的半径，而线段AB恰好是此时的半径。M点需要平移到A点的位置，即AM=1/2，所以此时的“平移距离”为1/2；

此时的线段AB在x轴上，也就是说它的中点M落在圆O上，而且只有两个地方：(-1,0)和(1,0)；

如果线段AB到圆O的“平移距离”为2，即最短的AA'=2，对应的MM'=2，那么M点在平移之前可能在哪里呢？

如果M'点与平移后的A点重合，即圆O与x轴负半轴的交点，则平移前的M点可能在(-3,0)处，而不在(1)处，0)。参考问题。 “M点不在圆O上”；

如果平移后的M' 点位于圆O 与x 轴正方向的交点处，即(1,0)，则平移前的M' 点可能在(3,0)，但不会在(-1,0) ），同理，画图如下：

这两种情况下，M点的坐标分别为(-3,0)或(3,0)。利用中点公式，B点对应的坐标可能是(-5,0) 或(7,0) ；

(2) 当线段AB在直线y=4/3x+4上时，中点M可以是该直线上的任意点。此时平移距离是从点到点到点到线的变化，所以指的是垂直线段的长度，如下图：

此时d1=OM-1，先找到y=4/3x+4与坐标轴的两个交点，分别是(-3,0)和(0,4)，然后用面积法求OM=2.4，即d1=1.4；

(3)按如下条件绘制草图：

由于AB=2，所以它们的中点M可能在以A为圆心、1为半径的圆周上，连接OM，与圆O的交点为M'。此时MM'为d2；

M点在圆O外。根据圆外一点到圆上最近点和最远点的距离，它们都在连接两个圆心的直线上。我们画一条直线OA，它与圆A相交于M点，与圆O相交于M'点，如下图：

利用两点之间的距离公式首先求出OA=5。第一种情况，d2=MM'=5-2=3；第二种情况，d2=MM'=OA=5，即3d25。

反思解决问题

与2020年北京中考最后一道题25题相比，这道题是一道“高仿”题。甚至新定义的名称也是相同的。不过仔细一看，差别还是比较大的。不存在平行弦的“干涉”，只是圆周上一点到某一点的距离；